La Loi de Little

La Loi de Little est la loi qui définie la théorie des files d’attentes. Elle lie le temps d’attente, les en-cours et le débit du système.

Introduction

La Loi de Little, (1961) est la loi qui définie la théorie des files d’attentes (Queuering Theory en Anglais). Elle lie le temps d’attente, les en-cours et le débit du système. L’origine se trouve dans les gestions des réseaux téléphoniques de Copenhague par les travaux de l’ingénieur danois A. K. Erlang dans les années 1900-1920. Il étudie les systèmes d’arrivée dans une file d’attente et les priorités de chaque nouvel entrant. Il observe alors le caractère poissonnien des arrivées des appels à un central téléphonique et le caractère exponentiel des durées des appels : autrement dit, au plus il y a d’appels en entrée, au plus la durée de l’appel est long. Il en déduit alors la probabilité d’avoir un appel rejeté et propose alors une théorie d’équilibre entre les entrées et les sorties.

                   

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A partir des années 1930, grâce à des mathématiciens connus comme Markov ou Kolmogorov, la théorie se développa en particulier via des applications opérationnelles : flux de trafic de véhicules, de personnes, ordonnancement de production, gestion des patients aux urgences, dimensionnement des guichets de banques...

Mais ce sera un mathématicien américain John Little qui identifia et popularisera la formule en 19541. N’ayant pas de « preuve » de sa loi, le mathématicien P. M. Morse la challengea en demandant à qui que ce soit d’en démontrer le contraire2. En 1961, John Little republiera3 sa formule en la prouvant par le fait qu’on ne peut ne pas la contredire...

Le modèle de Erlang

Le modèle d’origine de Erlang est encore très utilisé dans les télécommunications pour dimensionner les systèmes. Sa formulation est la suivante (publié en 1917) :

Erlang

Avec :

  • B : la dimension du système
  • m : le nombre de circuit
  • α : le nombre moyen d’appel en l’absence de blocage, qui est égale à λ / μ
  • λ : Densité des appels à l’entrée
  • μ : Durée moyenne de l’appel

Le principe

La Loi de Little s’applique à tout type de processus, quelque soit sa variabilité, et s’écrit :

WIP = T * LT

Avec :

  • WIP : Work In Progress qui se traduit par stock d’en-cours
  • T : le Débit par unité de temps de sortie de notre système
  • LT : Lead Time (Temps de Cycle moyen passé dans le système) qui correspond au temps d’attente plus le temps de traitement.

 

On notera que pour faire le corolaire avec la comptabilité de la Théorie des Contraintes :

  • WIP = Inventory
  • T = Throughput

 

Par ailleurs, on notera aussi, qu'implicitement à vouloir éliminer les Muda qui ralentissent le flux, Le Lean utilise implicitement cette loi.

Graphique Little

Cette expression est très intéressante. Elle nous montre que si l’on veut réduire le Lead Time, nous avons 2 choix :

  • soit de réduire le WIP.
  • soit d’augmenter le débit.

 

Partant du fait qu’un système aura forcément un goulot, on pourra alors réduire le Lead Time en calculant l’encours maximal que nous devons avoir pour avoir un Lead Time souhaitée. Ce sera via la maîtrise de cet en-cours que l’on pourra mieux gérer notre Lead Time en réduisant la variabilité de celui-ci.

En pratique, un bon moyen pour gérer son en-cours dans le respect de cette loi est de mettre en œuvre un kanban de type Conwip.

Apprentissage de la Loi de Little

La Loi de Little, qui va dans le même sens que la Théorie des Contraintes, met en avant que le temps de passage des tâches est proportionnel au stock d'en-cours. Elles s'opposent donc aux  habitudes que l’on trouve dans bon nombre d’entreprises et qui consistent de pousser en quantité le travail, en se disant que plus il y en a, plus on en sort.

Elle met également en avant le fait que pour accélérer les processus la seule piste de l’optimisation des processus n’est pas suffisante. Il faut également penser à mieux gérer ce qui rentre dans le processus.

Enfin, elle a pour enjeu de démontrer que la maîtrise des en-cours est un élément très important si l’on souhaite optimiser ses processus. Car on le sait, les en-cours :

  • Prennent de la place
  • Génèrent de la non qualité
  • Rendent la planification plus complexe
  • Représentent de l’argent qui dort
  • Apportent de la variabilité dans les temps de cycles

 

En résumé, la loi de Little nous apprend qu’on n’ira pas plus vite en POUSSANT en entrée d’un processus.

Exemple

Nous sommes manager, et le personnel se plaint du délai de réponse que nous mettons pour répondre aux mails. Pour le moment, nous avons environ 200 mails non lus dans notre boite, et nous savons traiter en moyenne 25 mails par jour.

Notre Lead Time moyen est donc de 200 / 25 soit 8 jours de temps moyen passé par un email dans la boite.

On souhaiterait réduire ce temps par au moins 3, soit passer de 8 jours à un peu plus de 2 jours et demi. Sachant que nous ne pouvons pas traiter plus de 25 mails par jour, la Loi de Little va nous permettre de calculer l’encours maximal que nous devons avoir, soit dans notre cas :

WIP max = 2,66 * 25 = 65 à 70 mails.

Autrement dit, nous devons faire en sorte de n’avoir au maximum que 65 à 70 mails non lus dans notre boite et donc mettre en place des standards pour gérer les envoies d’emails.

 

Un peu d'humour sur la théorie des files d'attentes

Source

1 – A. Cobham (1954) – Priority assignment in waiting line problem

2 – M. P. Morse (1958) – Queues, inventories and maintenance : the analysis of operational system with variable demande and supply

3 – J. D. C. Little (1961) – A proof of queuing formula : L = λW

A. K. Erlang (1909) – The theory of probabilities and telephone conversations

F. Sur (2011) – Les files d’attentes

L. Morisseau (2014) – Kanban pour l’IT

M. Samuellides (2014) – Probabilités pour les sciences de l’ingénieur

J. F. Hêche, T. M. Liebling, D. De Warra (2003) – Recherche opérationnelle pour l’ingénieur

T. Bonald, M. Feuillet (2011) – Performances des réseaux et des systèmes informatiques

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